/**
   * Returns the best cut of a graph w.r.t. the degree of dissimilarity between points of different
   * partitions and the degree of similarity between points of the same partition.
   *
   * @param W the weight matrix of the graph
   * @return an array of two elements, each of these contains the points of a partition
   */
  protected static int[][] bestCut(DoubleMatrix2D W) {
    int n = W.columns();
    // Builds the diagonal matrices D and D^(-1/2) (represented as their diagonals)
    DoubleMatrix1D d = DoubleFactory1D.dense.make(n);
    DoubleMatrix1D d_minus_1_2 = DoubleFactory1D.dense.make(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      double d_i = W.viewRow(i).zSum();
      d.set(i, d_i);
      d_minus_1_2.set(i, 1 / Math.sqrt(d_i));
    }
    DoubleMatrix2D D = DoubleFactory2D.sparse.diagonal(d);

    // System.out.println("DoubleMatrix2D :\n"+D.toString());

    DoubleMatrix2D X = D.copy();

    // System.out.println("DoubleMatrix2D copy :\n"+X.toString());

    // X = D^(-1/2) * (D - W) * D^(-1/2)
    X.assign(W, Functions.minus);
    // System.out.println("DoubleMatrix2D X: (D-W) :\n"+X.toString());
    for (int i = 0; i < n; i++)
      for (int j = 0; j < n; j++)
        X.set(i, j, X.get(i, j) * d_minus_1_2.get(i) * d_minus_1_2.get(j));

    // Computes the eigenvalues and the eigenvectors of X
    EigenvalueDecomposition e = new EigenvalueDecomposition(X);
    DoubleMatrix1D lambda = e.getRealEigenvalues();

    // Selects the eigenvector z_2 associated with the second smallest eigenvalue
    // Creates a map that contains the pairs <index, eigenvalue>
    AbstractIntDoubleMap map = new OpenIntDoubleHashMap(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) map.put(i, Math.abs(lambda.get(i)));
    IntArrayList list = new IntArrayList();
    // Sorts the map on the value
    map.keysSortedByValue(list);
    // Gets the index of the second smallest element
    int i_2 = list.get(1);

    // y_2 = D^(-1/2) * z_2
    DoubleMatrix1D y_2 = e.getV().viewColumn(i_2).copy();
    y_2.assign(d_minus_1_2, Functions.mult);

    // Creates a map that contains the pairs <i, y_2[i]>
    map.clear();
    for (int i = 0; i < n; i++) map.put(i, y_2.get(i));
    // Sorts the map on the value
    map.keysSortedByValue(list);
    // Search the element in the map previuosly ordered that minimizes the cut
    // of the partition
    double best_cut = Double.POSITIVE_INFINITY;
    int[][] partition = new int[2][];

    // The array v contains all the elements of the graph ordered by their
    // projection on vector y_2
    int[] v = list.elements();
    // For each admissible splitting point i
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      // The array a contains all the elements that have a projection on vector
      // y_2 less or equal to the one of i-th element
      // The array b contains the remaining elements
      int[] a = new int[i];
      int[] b = new int[n - i];
      System.arraycopy(v, 0, a, 0, i);
      System.arraycopy(v, i, b, 0, n - i);
      double cut = Ncut(W, a, b, v);
      if (cut < best_cut) {
        best_cut = cut;
        partition[0] = a;
        partition[1] = b;
      }
    }

    // System.out.println("Partition:");
    // UtilsJS.printMatrix(partition);

    return partition;
  }
  /**
   * Gibt die Lösung x des Gleichungssystems zurück: nur eindeutige (d.h. parameterunabhängige xi)
   * werden zurückgegeben. index 0: Wert = 0 bedeutet xi unbestimmt, Wert = 1 bedeutet xi bestimmt
   * index 1: eigentlicher Wert (nur wenn xi bestimmt, dh index 0 = 1, sonst Wert 0)
   */
  public final double[][] solve() throws ArithmeticException {

    // --------------------------------------------------------------------------
    // EIGENTLICHER SOLVER für bestimmte Lösungsvariablen in unbestimmen Systemen
    // --------------------------------------------------------------------------

    int gebrauchteUnbestParam = 0;
    x =
        new double[A.columns()]
            [2 + anzUnbestParam]; // Status 1 (bestimmt), kN, alpha, beta (Parameter)

    int z = A.rows() - 1; // Zeilenvariable, beginnt zuunterst

    // Gleichungen mit lauter Nullen
    while (R.viewRow(z).cardinality() == 0 // nachfolgende Tests massgebend, dieser jedoch schnell
        || (Fkt.max(R.viewRow(z).toArray()) < TOL && Fkt.min(R.viewRow(z).toArray()) > -TOL)) {
      double cwert;
      if (z < c.rows()) cwert = c.get(z, 0);
      else cwert = 0;
      if (Math.abs(cwert) > TOL) {
        System.out.println("widersprüchliche Gleichungen im System! Zeile " + z);
        throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
      }
      z--;
      if (z <= 0) {
        System.out.println("lauter Nullen im GLS");
        break;
      }
    }

    // Verarbeiten der Gleichungen (von unten her)
    for (z = z; z >= 0; z--) {
      // finde erste nicht-Null in Zeile (Pivot)
      int p = -1; // Pivot: erste Zahl welche nicht null ist
      pivotfinden:
      for (int i = 0; i < R.columns(); i++) {
        if (Math.abs(R.get(z, i))
            > TOL) { // Versuch, numerische Probleme (Überbestimmtheit) zu vermeiden
          p = i;
          break pivotfinden;
        }
      }

      // Fall Kein Pivot gefunden (d.h. linker Teil der Gleichung aus lauter Nullen)
      if (p < 0) {
        if (debug) System.out.println("Warnung: kein Pivot gefunden in Zeile " + z);
        // Kontrolle, ob rechte Seite (c) auch null --> ok, sonst Widerspruch im GLS
        if (Math.abs(c.get(z, 0)) > TOL) {
          System.out.println("widersprüchliche Gleichungen im System! Zeile " + z);
          throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
        } else {
          if (debug)
            System.out.println("Entwarnung: Zeile " + z + " besteht aus lauter Nullen (ok)");
          continue;
        }
      }

      // kontrollieren, ob es in der Gleichung (Zeile) eine neue Unbestimmte Variable (i.d.R. Pivot)
      // hat.
      boolean alleVarBestimmt = true;
      int effPivot = p; // effektiver Pivot (1. Unbestimmte Variable der Zeile), i.d.R. Pivot
      for (int i = p; i < R.columns(); i++) {
        if (x[i][0] == 0 && Math.abs(R.viewRow(z).get(i)) > TOL) {
          alleVarBestimmt = false;
          effPivot = i; // i.d.R. effPivot=p, aber nicht immer.
          break;
        }
      }

      if (alleVarBestimmt) { // alle Variablen (inkl.Pivot) schon bestimmt!
        // CHECKEN, ob (Zeile "+z+") nicht widersprüchlich
        double[] kontrolle = new double[1 + anzUnbestParam];
        for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) kontrolle[j] = 0;
        for (int i = p; i < R.columns(); i++) {
          for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) {
            kontrolle[j] += R.viewRow(z).get(i) * x[i][j + 1];
          }
        }
        kontrolle[0] -= c.get(z, 0);

        // TODO TESTEN!
        boolean alleParamNull = true;
        int bekParam = -1; // Parameter der aus der Gleichung bestimmt werden kann.
        for (int j = kontrolle.length - 1; j > 0; j--) {
          if (Math.abs(kontrolle[j]) > TOL) {
            alleParamNull = false;
            if (bekParam < 0) bekParam = j;
          }
        }
        // Überprüfen, ob Gleichung widersprüchlich ist
        if (alleParamNull) { // TODO ev. nochmals prüfen ob alle 0 mit geringerer Toleranz (Problem
                             // fastNull*Param ≠ 0 könnte bedeuten dass Param = 0). Zumindestens
                             // wenn noch Parameter zu vergeben.
          double obnull = Math.abs(kontrolle[0]);
          if (obnull > TOL) {
            System.out.println("");
            System.out.println(
                "Widerspruch im Gleichungssystem! (Zeile "
                    + z
                    + ") "
                    + obnull
                    + " ungleich 0"); // TODO: URSPRÜNGLICH ZEILE (piv) ANGEBEN!
            System.out.println("eventuell numerisches Problem");
            throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
          } else continue; // nächste Gleichung
        }
        // else
        // Ein schon vergebener Parameter kann ausgerechnet werden

        // Schlaufe über bisherige Lösung
        assert bekParam > 0;
        for (int xi = 0; xi < x.length; xi++) {
          double faktor = x[xi][1 + bekParam];
          if (Math.abs(faktor) < TOL) continue;
          // Einsetzen
          assert x[xi][0] > 0; // bestimmt
          for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) {
            if (j != bekParam) {
              x[xi][j + 1] += -kontrolle[j] * faktor / kontrolle[bekParam];
            }
          }
        }
        for (int xi = 0; xi < x.length; xi++) {
          // Parameter nachrutschen
          if (bekParam < anzUnbestParam) { // d.h. nicht der letzte zu vergebende Parameter.
            for (int j = bekParam; j < anzUnbestParam; j++) {
              x[xi][j + 1] = x[xi][j + 2];
              x[xi][j + 2] = 0;
            }
          } else x[xi][bekParam + 1] = 0;
        }
        if (debug)
          System.err.println(
              "VORSICHT, wenig GETESTETES Modul des Solvers im Einsatz."); // TODO Warnung
                                                                           // entfernen, da
                                                                           // vermutlich i.O.
        gebrauchteUnbestParam--;
      }

      // Normalfall, unbestimmter (effektiver) Pivot vorhanden
      else {

        // unbekannte
        x[effPivot][1] = c.get(z, 0) / R.viewRow(z).get(effPivot);
        for (int i = R.columns() - 1; i >= p; i--) { // R.Spalten, da dies AnzUnbek x entspricht
          if (i == effPivot) continue;
          if (x[i][0] == 0) { // unbestimmt, aber nicht Pivot
            if (Math.abs(R.viewRow(z).get(i)) > TOL) { // TODO testen!!!
              if (gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam) {
                System.err.println(
                    "Programmfehler in solver: gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam");
                throw new AssertionError(
                    "Programmfehler in solver: gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam");
              }
              x[i][gebrauchteUnbestParam + 2] = 1; // neuer Parameter (alpha, beta) setzen
              x[i][0] = 1; // bestimmt (auch wenn von Parameter abhängig).

              gebrauchteUnbestParam++;
            }
          }

          x[effPivot][1] += -R.viewRow(z).get(i) * x[i][1] / R.viewRow(z).get(effPivot);
          for (int j = 0; j < gebrauchteUnbestParam; j++) {
            x[effPivot][2 + j] += -R.viewRow(z).get(i) * x[i][2 + j] / R.viewRow(z).get(effPivot);
          }
        }
        x[effPivot][0] = 1;
      }
    }

    if (debug) {
      System.out.println("");
      for (int i = 0; i < x.length; i++) {
        System.out.print("x" + i + " = " + Fkt.nf(x[i][1], 3));
        for (int j = 2; j < x[i].length; j++) {
          System.out.print(", P" + (j - 1) + " = " + Fkt.nf(x[i][j], 3));
        }
        System.out.println("");
      }
    }

    // ------------------
    // Lösung zurückgeben
    // ------------------

    // Lösung x: nur eindeutige (d.h. parameterunabhängige xi) werden zurückgegeben
    // index 0: Wert = 0 bedeutet xi unbestimmt,  Wert = 1 bedeutet xi bestimmt
    // index 1: eigentlicher Wert (nur wenn xi bestimmt, dh index 0 = 1, sonst Wert 0)
    xLsg = new double[R.columns()][2];

    for (int i = 0; i < x.length; i++) {
      boolean bestimmt;
      if (x[i][0] > 0) {
        bestimmt = true;
        // schauen, ob Lösungsvariable xi bestimmt, dh unabhängig von überzähligen Parametern
        for (int j = 2; j < x[i].length; j++) {
          if (Math.abs(x[i][j]) > TOL) bestimmt = false;
        }
      } else bestimmt = false;

      if (bestimmt) {
        xLsg[i][0] = 1;
        xLsg[i][1] = x[i][1];
      } else xLsg[i][0] = 0;
    }

    solved = true;
    return xLsg;
  }