/**
* Returns the best cut of a graph w.r.t. the degree of dissimilarity between points of different
* partitions and the degree of similarity between points of the same partition.
*
* @param W the weight matrix of the graph
* @return an array of two elements, each of these contains the points of a partition
*/
protected static int[][] bestCut(DoubleMatrix2D W) {
int n = W.columns();
// Builds the diagonal matrices D and D^(-1/2) (represented as their diagonals)
DoubleMatrix1D d = DoubleFactory1D.dense.make(n);
DoubleMatrix1D d_minus_1_2 = DoubleFactory1D.dense.make(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
double d_i = W.viewRow(i).zSum();
d.set(i, d_i);
d_minus_1_2.set(i, 1 / Math.sqrt(d_i));
}
DoubleMatrix2D D = DoubleFactory2D.sparse.diagonal(d);
// System.out.println("DoubleMatrix2D :\n"+D.toString());
DoubleMatrix2D X = D.copy();
// System.out.println("DoubleMatrix2D copy :\n"+X.toString());
// X = D^(-1/2) * (D - W) * D^(-1/2)
X.assign(W, Functions.minus);
// System.out.println("DoubleMatrix2D X: (D-W) :\n"+X.toString());
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
X.set(i, j, X.get(i, j) * d_minus_1_2.get(i) * d_minus_1_2.get(j));
// Computes the eigenvalues and the eigenvectors of X
EigenvalueDecomposition e = new EigenvalueDecomposition(X);
DoubleMatrix1D lambda = e.getRealEigenvalues();
// Selects the eigenvector z_2 associated with the second smallest eigenvalue
// Creates a map that contains the pairs <index, eigenvalue>
AbstractIntDoubleMap map = new OpenIntDoubleHashMap(n);
for (int i = 0; i < n; i++) map.put(i, Math.abs(lambda.get(i)));
IntArrayList list = new IntArrayList();
// Sorts the map on the value
map.keysSortedByValue(list);
// Gets the index of the second smallest element
int i_2 = list.get(1);
// y_2 = D^(-1/2) * z_2
DoubleMatrix1D y_2 = e.getV().viewColumn(i_2).copy();
y_2.assign(d_minus_1_2, Functions.mult);
// Creates a map that contains the pairs <i, y_2[i]>
map.clear();
for (int i = 0; i < n; i++) map.put(i, y_2.get(i));
// Sorts the map on the value
map.keysSortedByValue(list);
// Search the element in the map previuosly ordered that minimizes the cut
// of the partition
double best_cut = Double.POSITIVE_INFINITY;
int[][] partition = new int[2][];
// The array v contains all the elements of the graph ordered by their
// projection on vector y_2
int[] v = list.elements();
// For each admissible splitting point i
for (int i = 1; i < n; i++) {
// The array a contains all the elements that have a projection on vector
// y_2 less or equal to the one of i-th element
// The array b contains the remaining elements
int[] a = new int[i];
int[] b = new int[n - i];
System.arraycopy(v, 0, a, 0, i);
System.arraycopy(v, i, b, 0, n - i);
double cut = Ncut(W, a, b, v);
if (cut < best_cut) {
best_cut = cut;
partition[0] = a;
partition[1] = b;
}
}
// System.out.println("Partition:");
// UtilsJS.printMatrix(partition);
return partition;
}
/**
* Gibt die Lösung x des Gleichungssystems zurück: nur eindeutige (d.h. parameterunabhängige xi)
* werden zurückgegeben. index 0: Wert = 0 bedeutet xi unbestimmt, Wert = 1 bedeutet xi bestimmt
* index 1: eigentlicher Wert (nur wenn xi bestimmt, dh index 0 = 1, sonst Wert 0)
*/
public final double[][] solve() throws ArithmeticException {
// --------------------------------------------------------------------------
// EIGENTLICHER SOLVER für bestimmte Lösungsvariablen in unbestimmen Systemen
// --------------------------------------------------------------------------
int gebrauchteUnbestParam = 0;
x =
new double[A.columns()]
[2 + anzUnbestParam]; // Status 1 (bestimmt), kN, alpha, beta (Parameter)
int z = A.rows() - 1; // Zeilenvariable, beginnt zuunterst
// Gleichungen mit lauter Nullen
while (R.viewRow(z).cardinality() == 0 // nachfolgende Tests massgebend, dieser jedoch schnell
|| (Fkt.max(R.viewRow(z).toArray()) < TOL && Fkt.min(R.viewRow(z).toArray()) > -TOL)) {
double cwert;
if (z < c.rows()) cwert = c.get(z, 0);
else cwert = 0;
if (Math.abs(cwert) > TOL) {
System.out.println("widersprüchliche Gleichungen im System! Zeile " + z);
throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
}
z--;
if (z <= 0) {
System.out.println("lauter Nullen im GLS");
break;
}
}
// Verarbeiten der Gleichungen (von unten her)
for (z = z; z >= 0; z--) {
// finde erste nicht-Null in Zeile (Pivot)
int p = -1; // Pivot: erste Zahl welche nicht null ist
pivotfinden:
for (int i = 0; i < R.columns(); i++) {
if (Math.abs(R.get(z, i))
> TOL) { // Versuch, numerische Probleme (Überbestimmtheit) zu vermeiden
p = i;
break pivotfinden;
}
}
// Fall Kein Pivot gefunden (d.h. linker Teil der Gleichung aus lauter Nullen)
if (p < 0) {
if (debug) System.out.println("Warnung: kein Pivot gefunden in Zeile " + z);
// Kontrolle, ob rechte Seite (c) auch null --> ok, sonst Widerspruch im GLS
if (Math.abs(c.get(z, 0)) > TOL) {
System.out.println("widersprüchliche Gleichungen im System! Zeile " + z);
throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
} else {
if (debug)
System.out.println("Entwarnung: Zeile " + z + " besteht aus lauter Nullen (ok)");
continue;
}
}
// kontrollieren, ob es in der Gleichung (Zeile) eine neue Unbestimmte Variable (i.d.R. Pivot)
// hat.
boolean alleVarBestimmt = true;
int effPivot = p; // effektiver Pivot (1. Unbestimmte Variable der Zeile), i.d.R. Pivot
for (int i = p; i < R.columns(); i++) {
if (x[i][0] == 0 && Math.abs(R.viewRow(z).get(i)) > TOL) {
alleVarBestimmt = false;
effPivot = i; // i.d.R. effPivot=p, aber nicht immer.
break;
}
}
if (alleVarBestimmt) { // alle Variablen (inkl.Pivot) schon bestimmt!
// CHECKEN, ob (Zeile "+z+") nicht widersprüchlich
double[] kontrolle = new double[1 + anzUnbestParam];
for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) kontrolle[j] = 0;
for (int i = p; i < R.columns(); i++) {
for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) {
kontrolle[j] += R.viewRow(z).get(i) * x[i][j + 1];
}
}
kontrolle[0] -= c.get(z, 0);
// TODO TESTEN!
boolean alleParamNull = true;
int bekParam = -1; // Parameter der aus der Gleichung bestimmt werden kann.
for (int j = kontrolle.length - 1; j > 0; j--) {
if (Math.abs(kontrolle[j]) > TOL) {
alleParamNull = false;
if (bekParam < 0) bekParam = j;
}
}
// Überprüfen, ob Gleichung widersprüchlich ist
if (alleParamNull) { // TODO ev. nochmals prüfen ob alle 0 mit geringerer Toleranz (Problem
// fastNull*Param ≠ 0 könnte bedeuten dass Param = 0). Zumindestens
// wenn noch Parameter zu vergeben.
double obnull = Math.abs(kontrolle[0]);
if (obnull > TOL) {
System.out.println("");
System.out.println(
"Widerspruch im Gleichungssystem! (Zeile "
+ z
+ ") "
+ obnull
+ " ungleich 0"); // TODO: URSPRÜNGLICH ZEILE (piv) ANGEBEN!
System.out.println("eventuell numerisches Problem");
throw new ArithmeticException("Widerspruch im Gleichungssystem!");
} else continue; // nächste Gleichung
}
// else
// Ein schon vergebener Parameter kann ausgerechnet werden
// Schlaufe über bisherige Lösung
assert bekParam > 0;
for (int xi = 0; xi < x.length; xi++) {
double faktor = x[xi][1 + bekParam];
if (Math.abs(faktor) < TOL) continue;
// Einsetzen
assert x[xi][0] > 0; // bestimmt
for (int j = 0; j < kontrolle.length; j++) {
if (j != bekParam) {
x[xi][j + 1] += -kontrolle[j] * faktor / kontrolle[bekParam];
}
}
}
for (int xi = 0; xi < x.length; xi++) {
// Parameter nachrutschen
if (bekParam < anzUnbestParam) { // d.h. nicht der letzte zu vergebende Parameter.
for (int j = bekParam; j < anzUnbestParam; j++) {
x[xi][j + 1] = x[xi][j + 2];
x[xi][j + 2] = 0;
}
} else x[xi][bekParam + 1] = 0;
}
if (debug)
System.err.println(
"VORSICHT, wenig GETESTETES Modul des Solvers im Einsatz."); // TODO Warnung
// entfernen, da
// vermutlich i.O.
gebrauchteUnbestParam--;
}
// Normalfall, unbestimmter (effektiver) Pivot vorhanden
else {
// unbekannte
x[effPivot][1] = c.get(z, 0) / R.viewRow(z).get(effPivot);
for (int i = R.columns() - 1; i >= p; i--) { // R.Spalten, da dies AnzUnbek x entspricht
if (i == effPivot) continue;
if (x[i][0] == 0) { // unbestimmt, aber nicht Pivot
if (Math.abs(R.viewRow(z).get(i)) > TOL) { // TODO testen!!!
if (gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam) {
System.err.println(
"Programmfehler in solver: gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam");
throw new AssertionError(
"Programmfehler in solver: gebrauchteUnbestParam >= anzUnbestParam");
}
x[i][gebrauchteUnbestParam + 2] = 1; // neuer Parameter (alpha, beta) setzen
x[i][0] = 1; // bestimmt (auch wenn von Parameter abhängig).
gebrauchteUnbestParam++;
}
}
x[effPivot][1] += -R.viewRow(z).get(i) * x[i][1] / R.viewRow(z).get(effPivot);
for (int j = 0; j < gebrauchteUnbestParam; j++) {
x[effPivot][2 + j] += -R.viewRow(z).get(i) * x[i][2 + j] / R.viewRow(z).get(effPivot);
}
}
x[effPivot][0] = 1;
}
}
if (debug) {
System.out.println("");
for (int i = 0; i < x.length; i++) {
System.out.print("x" + i + " = " + Fkt.nf(x[i][1], 3));
for (int j = 2; j < x[i].length; j++) {
System.out.print(", P" + (j - 1) + " = " + Fkt.nf(x[i][j], 3));
}
System.out.println("");
}
}
// ------------------
// Lösung zurückgeben
// ------------------
// Lösung x: nur eindeutige (d.h. parameterunabhängige xi) werden zurückgegeben
// index 0: Wert = 0 bedeutet xi unbestimmt, Wert = 1 bedeutet xi bestimmt
// index 1: eigentlicher Wert (nur wenn xi bestimmt, dh index 0 = 1, sonst Wert 0)
xLsg = new double[R.columns()][2];
for (int i = 0; i < x.length; i++) {
boolean bestimmt;
if (x[i][0] > 0) {
bestimmt = true;
// schauen, ob Lösungsvariable xi bestimmt, dh unabhängig von überzähligen Parametern
for (int j = 2; j < x[i].length; j++) {
if (Math.abs(x[i][j]) > TOL) bestimmt = false;
}
} else bestimmt = false;
if (bestimmt) {
xLsg[i][0] = 1;
xLsg[i][1] = x[i][1];
} else xLsg[i][0] = 0;
}
solved = true;
return xLsg;
}